Revision d7380636ee28919a622777c9138556ffb511a848 (click the page title to view the current version)
Changes from d7380636ee28919a622777c9138556ffb511a848 to fe160ae133e286f7ac163e802f7f23d229484555
---
format:markdown
...
# Gravitace
Vojtěch Svoboda
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/newtmtn.gif" width="400" />
## Cíle:
<pre>1. Poznáte zákony pohybu planet, které na počátku 17. století objevil J. Kepler.
2. Seznámíte se s Newtonovým zákonem gravitace a pojmem gravitační pole.
3. Naučíte se používat gravitační zákon i Keplerovy zákony k řešení mnoha
úloh, například o pohybu planet kolem slunce či pohybu družic kolem
Země.
4. Dozvíte se, jak vypadá tíhové pole Země a také jak se gravitace projevuje v na-
šem vesmíru.</pre>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/qr.jpg" width="400" />
</center>
# Entreé
<center>
## <a href="http://www.geoastro.de/geocentric/index.html">Geocentrismus vs. heliocentrismus</a>
<iframe width="100%" height="700" src="http://www.geoastro.de/geocentric/index.html" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
</center>
# Kepplerovy zákony
# Johannes Kepler
<table>
<tr>
<td>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/JKepler.jpg" width="200" />
</td>
<td>
<ul><li>žil v letech 1571 – 1630</li>
<li>astronom, matematik, astrolog</li>
<li>několik let působil na dvoře císaře
Rudolfa II. v Praze, kde také zformuloval
dva ze tří jeho zákonů</li>
<li>počeštěná forma jeho jména: Jan Kepler</li></ul>
</td>
</tr>
</table>
# 1. Kepplerův zákon
**Planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách (přesněji trajektoriích), v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce.**
* Popisuje trajektorie planet.
* Planety se periodicky vzdalují a přibližují ke Slunci.
* Roviny drah všech planet procházejí středem Slunce, jsou přibližně totožné. Slunce se nachází v ohnisku dráhy každé planety.
* Planety obíhají kolem Slunce, takže geocentrický popis nebeské mechaniky již není vhodný.
<center>
## Elipsa
<img src="https://edu.techmania.cz/sites/default/files/encyklopedie/insert/5_18.gif" width="560" />
## Animace
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/Animation_of_Orbital_eccentricity.gif" width="560" />
</center>
# 2. Kepplerův zákon
**Obsahy ploch opsaných průvodičem planety (spojnice planety a Slunce) za stejný čas jsou stejně velké**
* Popisuje rychlosti planet (komet, planetek) obíhajících Slunce
* Čím blíže je planeta u Slunce, tím se rychleji pohybuje.
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/Plocha_pruvodice.png" width="560" />
</center>
# 3. Kepplerův zákon
**Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je stejný jako poměr třetích mocnin délek jejich hlavních poloos (středních vzdáleností těchto planet od Slunce).**
Pokud označíme $T_1$ a $T_2$ oběžné doby dvou planet a $a_1$ a $a_2$ délky jejich hlavních poloos, pak lze tento zákon vyjádřit ve tvaru:$$T_1^2/T_2^2=a_1^3/a_2^3$$
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/Kepler_laws_diagram.svg" width="350" />
</center>
Tento zákon platí v tomto tvaru jen tehdy, jsou-li hmotnosti planet zanedbatelně malé ve srovnání s hmotností Slunce, což je u planet Sluneční soustavy splněno.
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/prkl/6p1.png" width="750" />
</center>
# Zajímavosti
## Jak rostou roky se vzdáleností od Slunce
<iframe width="70%" height="600" src="http://buon.fjfi.cvut.cz/raws/Prednasky/02MECH/Gravitace/3KZ-JakRostouRoky.html" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
# Newtonův gravitační zákon
## Zákon
* Jablko ze stromu a stejně tak všechna ostatní tělesa padají,
protože je Země přitahuje. Nemělo by půosbení této přitažlivé síly pokračovat
protože je Země přitahuje. Nemělo by působení této přitažlivé síly pokračovat
mnohem dál až k Měsíci?
* Podlunární a nadlunární mechanika.
* Newton matematicky odvodil, že pohybuje-li se planeta po elipse podle tří Keplerových zákonů, musí na ni Slunce působit silou, jejíž velikost je nepřímo úměrná druhé mocnicně vzdálenosti $r$ Slunce a planety
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg" width="500" />
</center>
* Odvodil obecný vztah pro gravitační sílu, který dnes
nazýváme Newtonův gravitační zákon. Ten říká, že dva hmotné body o hmot-
nostech $m_1$, $m_2$ ve vzdálenosti $r$ se vzájemně přitahují gravitační silou o velikosti
$$F_g = G \cdot (m_1\cdot m_2 / r^2)$$
kde $G=6,67\cdot10^{11} Nm^2kg^{-2}$. Hodnota gravitační konstanty určuje velikost gravitační síly pro dvě konkrétní částice v určité vzdálenosti..
* Například dvě kilogramová závaží ve vzdálenosti jeden metr, vyjde nám, že na sebe budou působit gravitační silou o velikosti $F_G =6,67\cdot10^{-11} N$. To je tak malá síla, že ji ani nedokážeme změřit.
* Gravitační zákon v uvedeném tvaru platí přesně jen pro hmotné body. Ale dá se dokázat, že gravitační zákon platí úplně stejně i pro kulová tělesa
jako jsou planety a hvězdy (obecně sféricky symetrická tělesa).
## Země a měsíc
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/ZemeMesic.png" width="300" />
Kdybychom gravitaci „vypnuli“, Měsíc by podle zákona setrvačnosti pokračoval
v rovnoměrném pohybu v daném směru a od Země by se odpoutal. Gravitační síla je v tomto případě dostředivou silou.
</center>
## Země a objekt (třeba člověk)
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/ZemeClovek.png" width="300" />
</center>
$$F_G = G \cdot (m_Z\cdot m / r_Z^2) = (G \cdot m_Z/ r_Z^2)\cdot m = g\cdot m$$
* Velikost gravitačního zrychlení $g = G \cdot m_Z/ r_Z^2 = ??$
## Cavendishův experiment (Zvážení Země)
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/Cavendish_Torsion_Balance_Diagram.svg" width="300" />
</center>
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/prkl/6p2.png" width="750" />
</center>
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/prkl/6p3.png" width="750" />
</center>
# Gravitační pole
* Chceme-li zjistit, jak vypadá gravitační pole nějakého hmotného tělesa
o hmotnosti $M$ (například Země).
* Vezmeme malé zkušební těleso o hmotnosti $m$ (například závaží) a umístíme jej do libovolného bodu prostoru.
* pak $a_G=F_g/m = G\cdot M/r^2$
* Pro vlastnostmi gravitačního pole Země platí: $a_G= G\cdot M_Z/r_Z^2=9.8$ m\, s$^{-2}$
* Pro vlastnosti gravitačního pole Země platí: $a_G= G\cdot M_Z/r_Z^2=9.8$ m s$^{-2}$
* Nezávislé na hmotnosti!
## Experiment pírko a kladivo
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/Oo8TaPVsn9Y?si=-4T-UHgEmk320zh_" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/KDp1tiUsZw8?si=FvKeGtA5cX3OdxW_" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>
## Závislost na vzdálenosti
* Budeme-li se od Země vzdalovat, bude gravitační zrychlení klesat s druhou mocninou vzdálenosti od středu Země
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs_/appleearthgraph.jpg" width="500" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/TableGravZrych.png" width="300" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/GravZrych.png" width="300" />
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/prkl/6p4.png" width="750" />
</center>
# Tíhové pole Země
**Korekce gravitačního pole v reálném prostředí Země**
## Rotace
* Musíme to ještě zpřesnit. Není to všude stejné. Nenaměřili bychom všude svoji stejnou hmotnost.
* Míchá se do toho rotace Země.
* Zatím máme, že gravitační zrychlení na povrchu Země je $a_G = 9,83$ m\, s$^{-2}$.
## Situace člověka, stojícího na váze, který se nachází na rovníku.
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/SilovyDiagram.png" width="300" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/SIlDiagVypocet.png" width="600" />
## + zploštění
* Kromě rotace Země má na místní tíhové zrychlení vliv ještě nepravidelný
tvar Země.
* Planeta je mírně zploštělá, vzdálenost ke středu Země na rovníku
je 6378 km zatímco na pólech jen 6357 km.
## Finále
* Hodnoty tíhového zrychlení se pohybují mezi g= 9,78 m\, s$^{-2}$ na rovníku a g=9,83 m\, s$^{-2}$ na pólech.
# Pohyb těles v gravitačním poli Země
## V blízkosti povrchu Země (podlunární mechanika)
* Tělesa se nachází v homogenním gravitačním poli -> přímočarý (volný pád) a křivočarý pohyb (šikmý vrh).
* Přímka nebo části paraboly.
## Pohyb těles ve větší vzdálenosti od povrchu Země, v centrálním gravitačním poli.
* Pohyb družic
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/newtmtn.gif" width="400" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/CentrPoleOdvoz.png" width="600" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/CentrPoleOdvozZem.png" width="600" />
## První kosmická rychlost
* Dosadíme $h=0$ - > $v=7.9$ km/s
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/prkl/6p5.png" width="750" />
</center>
## Druhá kosmická rychlost
* $v_{2K}=\sqrt{2}*v_{1K}=11.2$ km/s
## Typy pohybů v gravitačním poli podle počáteční rychlosti $v_i$ rovnobežně s povrchem Země.
* $v_i=0$ Volný pád (neperiodický)
* $0<v_i<v_{1K}$ Vodorovný vrh (neperiodický s pádem)
* $0<v_i<v_{1K}$ Kruhový v urřité výšce nad povrchem Země (periodický)
* $v_i=v_{1K}$ Kruhový na povrchu Země, periodický
* $v_{1K}<v_i<v_{2K}$ Eliptický, periodický
* $v_i>v_{2K}$ Parabolický, neperidický
## [Newtonův kanón](https://physics.weber.edu/schroeder/software/NewtonsCannon.html)
<iframe width="70%" height="600" src="https://physics.weber.edu/schroeder/software/NewtonsCannon.html" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
# Zajímavosti
## Urychlování sond
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs_/vtraj.gif" width="600" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs_/bsf16-22.gif" width="600" />
## Transportní tunel
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs_/img026.gif" width="600" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs_/img031.gif" width="600" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs_/img032.gif" width="600" />
# Zdroje
* Přispěvatelé Wikipedie, „Keplerovy zákony,“ Wikipedie: Otevřená encyklopedie, <a href=https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Keplerovy_z%C3%A1kony>Link</a> (získáno 31. 10. 2024).
* Wikipedia contributors, "Kepler's laws of planetary motion," Wikipedia, The Free Encyclopedia, <a href=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kepler%27s_laws_of_planetary_motion>Link</a> (accessed October 31, 2024).
* Tomáš Nečas: Fyzika pro gymnázia - Mechanika. 2008.
* Wikipedia contributors, "Newton's law of universal gravitation," Wikipedia, The Free Encyclopedia, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Newton%27s_law_of_universal_gravitation&oldid=1254014824 (accessed October 31, 2024).
*Chicago style*
