Revision 628a268e63f56f5f10d61d0084e819e1a6c850c8 (click the page title to view the current version)
Changes from 628a268e63f56f5f10d61d0084e819e1a6c850c8 to current
---
format:markdown
...
# Gravitace
Vojtěch Svoboda
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/newtmtn.gif" width="400" />
## Cíle:
<pre>1. Poznáte zákony pohybu planet, které na počátku 17. století objevil J. Kepler.
2. Seznámíte se s Newtonovým zákonem gravitace a pojmem gravitační pole.
3. Naučíte se používat gravitační zákon i Keplerovy zákony k řešení mnoha
úloh, například o pohybu planet kolem slunce či pohybu družic kolem
Země.
4. Dozvíte se, jak vypadá tíhové pole Země a také jak se gravitace projevuje v na-
šem vesmíru.</pre>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/qr.jpg" width="400" />
</center>
# Entreé
<center>
## <a href="http://www.geoastro.de/geocentric/index.html">Geocentrismus vs. heliocentrismus</a>
<iframe width="100%" height="700" src="http://www.geoastro.de/geocentric/index.html" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
</center>
# Kepplerovy zákony
# Johannes Kepler
<table>
<tr>
<td>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/JKepler.jpg" width="200" />
</td>
<td>
<ul><li>žil v letech 1571 – 1630</li>
<li>astronom, matematik, astrolog</li>
<li>několik let působil na dvoře císaře
Rudolfa II. v Praze, kde také zformuloval
dva ze tří jeho zákonů</li>
<li>počeštěná forma jeho jména: Jan Kepler</li></ul>
</td>
</tr>
</table>
# 1. Kepplerův zákon
**Planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách (přesněji trajektoriích), v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce.**
* Popisuje trajektorie planet.
* Planety se periodicky vzdalují a přibližují ke Slunci.
* Roviny drah všech planet procházejí středem Slunce, jsou přibližně totožné. Slunce se nachází v ohnisku dráhy každé planety.
* Planety obíhají kolem Slunce, takže geocentrický popis nebeské mechaniky již není vhodný.
<center>
## Elipsa
<img src="https://edu.techmania.cz/sites/default/files/encyklopedie/insert/5_18.gif" width="560" />
## Animace
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/Animation_of_Orbital_eccentricity.gif" width="560" />
</center>
# 2. Kepplerův zákon
**Obsahy ploch opsaných průvodičem planety (spojnice planety a Slunce) za stejný čas jsou stejně velké**
* Popisuje rychlosti planet (komet, planetek) obíhajících Slunce
* Čím blíže je planeta u Slunce, tím se rychleji pohybuje.
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/Plocha_pruvodice.png" width="560" />
</center>
# 3. Kepplerův zákon
**Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je stejný jako poměr třetích mocnin délek jejich hlavních poloos (středních vzdáleností těchto planet od Slunce).**
Pokud označíme $T_1$ a $T_2$ oběžné doby dvou planet a $a_1$ a $a_2$ délky jejich hlavních poloos, pak lze tento zákon vyjádřit ve tvaru:$$T_1^2/T_2^2=a_1^3/a_2^3$$
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/Kepler_laws_diagram.svg" width="350" />
</center>
Tento zákon platí v tomto tvaru jen tehdy, jsou-li hmotnosti planet zanedbatelně malé ve srovnání s hmotností Slunce, což je u planet Sluneční soustavy splněno.
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/prkl/6p2.png" width="750" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/prkl/6p1.png" width="750" />
</center>
# Newtonův gravitační zákon
## Zákon
* Jablko ze stromu a stejně tak všechna ostatní tělesa padají,
protože je Země přitahuje. Nemělo by půosbení této přitažlivé síly pokračovat
mnohem dál až k Měsíci?
* Podlunární a nadlunární mechanika.
* Newton matematicky odvodil, že pohybuje-li se planeta po elipse podle tří Keplerových zákonů, musí na ni Slunce působit silou, jejíž velikost je nepřímo úměrná druhé mocnicně vzdálenosti $r$ Slunce a planety
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg" width="500" />
</center>
* Odvodil obecný vztah pro gravitační sílu, který dnes
nazýváme Newtonův gravitační zákon. Ten říká, že dva hmotné body o hmot-
nostech $m_1$, $m_2$ ve vzdálenosti $r$ se vzájemně přitahují gravitační silou o velikosti
$$F_g = G \cdot (m_1\cdot m_2 / r^2)$$
kde $G=6,67\cdot10^{11} Nm^2kg^{-2}$. Hodnota gravitační konstanty určuje velikost gravitační síly pro dvě konkrétní částice v určité vzdálenosti..
* Například dvě kilogramová závaží ve vzdálenosti jeden metr, vyjde nám, že na sebe budou působit gravitační silou o velikosti $F_G =6,67\cdot10^{11} N$. To je tak malá síla, že ji ani nedokážeme změřit.
* Gravitační zákon v uvedeném tvaru platí přesně jen pro hmotné body. Ale dá se dokázat, že gravitační zákon platí úplně stejně i pro kulová tělesa
jako jsou planety a hvězdy (obecně sféricky symetrická tělesa).
$$F_g = G { m_1 m_2 \over r^2}$$
## Země a měsíc
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/ZemeMesic.png" width="300" />
Kdybychom gravitaci „vypnuli“, Měsíc by podle zákona setrvačnosti pokračoval
v rovnoměrném pohybu v daném směru a od Země by se odpoutal. Gravitační síla je v tomto případě dostředivou silou.
</center>
## Země a objekt (třeba člověk)
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/ZemeClovek.png" width="300" />
</center>
$$F_G = G \cdot (m_Z\cdot m / r_Z^2) = (G \cdot m_Z/ r_Z^2)\cdot m = g\cdot m$$
* Velikost gravitačního zrychlení $g = G \cdot m_Z/ r_Z^2 = ??$
## Cavendishův experiment (Zvážení Země)
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/Cavendish_Torsion_Balance_Diagram.svg" width="300" />
</center>
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/prkl/6p2.png" width="750" />
</center>
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/prkl/6p3.png" width="750" />
</center>
# Gravitační pole
* Chceme-li zjistit, jak vypadá gravitační pole nějakého hmotného tělesa
o hmotnosti $M$ (například Země).
* Vezmeme malé zkušební těleso o hmotnosti $m$ (například závaží) a umístíme jej do libovolného bodu prostoru.
* pak $a_G=F_g/m = G\cdot M/r^2$
* Pro vlastnostmi gravitačního pole Země platí: $a_G= G\cdot M_Z/r_Z^2=9.8$ m\, s$^{-2}$
* Nezávislé na hmotnosti!
## Experiment pírko a kladivo
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/Oo8TaPVsn9Y?si=-4T-UHgEmk320zh_" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>
## Závislost na vzdálenosti
* Budeme-li se od Země vzdalovat, bude gravitační zrychlení klesat s druhou mocninou vzdálenosti od středu Země
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs_/appleearthgraph.jpg" width="500" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/TableGravZrych.png" width="300" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/GravZrych.png" width="300" />
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/prkl/6p4.png" width="750" />
</center>
# Tíhové pole Země
**Korekce gravitačního pole v reálném prostředí Země**
## Rotace
* Musíme to ještě zpřesnit. Není to všude stejné. Nenaměřili bychom všude svoji stejnou hmotnost.
* Míchá se do toho rotace Země.
* Zatím máme, že gravitační zrychlení na povrchu Země je $a_G = 9,83$ m\, s$^{-2}$.
## Situace člověka, stojícího na váze, který se nachází na rovníku.
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/SilovyDiagram.png" width="300" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/SIlDiagVypocet.png" width="600" />
## + zploštění
* Kromě rotace Země má na místní tíhové zrychlení vliv ještě nepravidelný
tvar Země.
* Planeta je mírně zploštělá, vzdálenost ke středu Země na rovníku
je 6378 km zatímco na pólech jen 6357 km.
## Finále
* Hodnoty tíhového zrychlení se pohybují mezi g= 9,78 m\, s$^{-2}$ na rovníku a g=9,83 m\, s$^{-2}$ na pólech.
# Pohyb těles v gravitačním poli Země
## V blízkosti povrchu Země (podlunární mechanika)
* Tělesa se nachází v homogenním gravitačním poli -> přímočarý (volný pád) a křivočarý pohyb (šikmý vrh).
* Přímka nebo části paraboly.
## Pohyb těles ve větší vzdálenosti od povrchu Země, v centrálním gravitačním poli.
* Pohyb družic
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/newtmtn.gif" width="400" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/CentrPoleOdvoz.png" width="600" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs/CentrPoleOdvozZem.png" width="600" />
## První kosmická rychlost
* Dosadíme $h=0$ - > $v=7.9$ km/s
<center>
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/prkl/6p5.png" width="750" />
</center>
## Druhá kosmická rychlost
* $v_{2K}=\sqrt{2}*v_{1K}=11.2$ km/s
## Typy pohybů v gravitačním poli podle počáteční rychlosti $v_i$ rovnobežně s povrchem Země.
* $v_i=0$ Volný pád (neperiodický)
* $0<v_i<v_{1K}$ Vodorovný vrh (neperiodický s pádem)
* $0<v_i<v_{1K}$ Kruhový v urřité výšce nad povrchem Země (periodický)
* $v_i=v_{1K}$ Kruhový na povrchu Země, periodický
* $v_{1K}<v_i<v_{2K}$ Eliptický, periodický
* $v_i>v_{2K}$ Parabolický, neperidický
## [Newtonův kanón](https://physics.weber.edu/schroeder/software/NewtonsCannon.html)
<iframe width="70%" height="600" src="https://physics.weber.edu/schroeder/software/NewtonsCannon.html" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
# Zajímavosti
## Urychlování sond
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs_/vtraj.gif" width="600" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs_/bsf16-22.gif" width="600" />
## Transportní tunel
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs_/img026.gif" width="600" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs_/img031.gif" width="600" />
<img src="http://buon.fjfi.cvut.cz:5002/02MECH/Gravitace/figs_/img032.gif" width="600" />
# Zdroje
* Přispěvatelé Wikipedie, „Keplerovy zákony,“ Wikipedie: Otevřená encyklopedie, <a href=https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Keplerovy_z%C3%A1kony>Link</a> (získáno 31. 10. 2024).
* Wikipedia contributors, "Kepler's laws of planetary motion," Wikipedia, The Free Encyclopedia, <a href=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kepler%27s_laws_of_planetary_motion>Link</a> (accessed October 31, 2024).
* Tomáš Nečas: Fyzika pro gymnázia - Mechanika. 2008.
* Wikipedia contributors, "Newton's law of universal gravitation," Wikipedia, The Free Encyclopedia, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Newton%27s_law_of_universal_gravitation&oldid=1254014824 (accessed October 31, 2024).
*Chicago style*
