--- format:markdown ... # Gravitace Vojtěch Svoboda
## Cíle: 
1. Poznáte zákony pohybu planet, které na počátku 17. století objevil J. Kepler.
2. Seznámíte se s Newtonovým zákonem gravitace a pojmem gravitační pole.
3. Naučíte se používat gravitační zákon i Keplerovy zákony k řešení mnoha
úloh, například o pohybu planet kolem slunce či pohybu družic kolem
Země.
4. Dozvíte se, jak vypadá tíhové pole Země a také jak se gravitace projevuje v na-
šem vesmíru.
# Entreé
## Geocentrismus vs. heliocentrismus
# Kepplerovy zákony # Johannes Kepler
  • žil v letech 1571 – 1630
  • astronom, matematik, astrolog
  • několik let působil na dvoře císaře Rudolfa II. v Praze, kde také zformuloval dva ze tří jeho zákonů
  • počeštěná forma jeho jména: Jan Kepler
# 1. Kepplerův zákon **Planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách (přesněji trajektoriích), v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce.** * Popisuje trajektorie planet. * Planety se periodicky vzdalují a přibližují ke Slunci. * Roviny drah všech planet procházejí středem Slunce, jsou přibližně totožné. Slunce se nachází v ohnisku dráhy každé planety. * Planety obíhají kolem Slunce, takže geocentrický popis nebeské mechaniky již není vhodný.
## Elipsa ## Animace
# 2. Kepplerův zákon **Obsahy ploch opsaných průvodičem planety (spojnice planety a Slunce) za stejný čas jsou stejně velké** * Popisuje rychlosti planet (komet, planetek) obíhajících Slunce * Čím blíže je planeta u Slunce, tím se rychleji pohybuje.
# 3. Kepplerův zákon **Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je stejný jako poměr třetích mocnin délek jejich hlavních poloos (středních vzdáleností těchto planet od Slunce).** Pokud označíme $T_1$ a $T_2$ oběžné doby dvou planet a $a_1$ a $a_2$ délky jejich hlavních poloos, pak lze tento zákon vyjádřit ve tvaru:$$T_1^2/T_2^2=a_1^3/a_2^3$$
Tento zákon platí v tomto tvaru jen tehdy, jsou-li hmotnosti planet zanedbatelně malé ve srovnání s hmotností Slunce, což je u planet Sluneční soustavy splněno.
# Newtonův gravitační zákon ## Zákon * Jablko ze stromu a stejně tak všechna ostatní tělesa padají, protože je Země přitahuje. Nemělo by půosbení této přitažlivé síly pokračovat mnohem dál až k Měsíci? * Podlunární a nadlunární mechanika. * Newton matematicky odvodil, že pohybuje-li se planeta po elipse podle tří Keplerových zákonů, musí na ni Slunce působit silou, jejíž velikost je nepřímo úměrná druhé mocnicně vzdálenosti $r$ Slunce a planety
* Odvodil obecný vztah pro gravitační sílu, který dnes nazýváme Newtonův gravitační zákon. Ten říká, že dva hmotné body o hmot- nostech $m_1$, $m_2$ ve vzdálenosti $r$ se vzájemně přitahují gravitační silou o velikosti $$F_g = G \cdot (m_1\cdot m_2 / r^2)$$ kde $G=6,67\cdot10^{11} Nm^2kg^{-2}$. Hodnota gravitační konstanty určuje velikost gravitační síly pro dvě konkrétní částice v určité vzdálenosti.. * Například dvě kilogramová závaží ve vzdálenosti jeden metr, vyjde nám, že na sebe budou působit gravitační silou o velikosti $F_G =6,67\cdot10^{11} N$. To je tak malá síla, že ji ani nedokážeme změřit. * Gravitační zákon v uvedeném tvaru platí přesně jen pro hmotné body. Ale dá se dokázat, že gravitační zákon platí úplně stejně i pro kulová tělesa jako jsou planety a hvězdy (obecně sféricky symetrická tělesa). ## Země a měsíc
Kdybychom gravitaci „vypnuli“, Měsíc by podle zákona setrvačnosti pokračoval v rovnoměrném pohybu v daném směru a od Země by se odpoutal. Gravitační síla je v tomto případě dostředivou silou.
## Země a objekt (třeba člověk)
$$F_G = G \cdot (m_Z\cdot m / r_Z^2) = (G \cdot m_Z/ r_Z^2)\cdot m = g\cdot m$$ * Velikost gravitačního zrychlení $g = G \cdot m_Z/ r_Z^2 = ??$ ## Cavendishův experiment (Zvážení Země)
## [Newtonův kanón](https://physics.weber.edu/schroeder/software/NewtonsCannon.html) # Gravitační pole * Chceme-li zjistit, jak vypadá gravitační pole nějakého hmotného tělesa o hmotnosti $M$ (například Země). * Vezmeme malé zkušební těleso o hmotnosti $m$ (například závaží) a umístíme jej do libovolného bodu prostoru. * pak $a_G=F_g/m = G\cdot M/r^2$ * Pro vlastnostmi gravitačního pole Země platí: $a_G= G\cdot M_Z/r_Z^2=9.8$ m\, s$^{-2}$ * Nezávislé na hmotnosti! ## Experiment pírko a kladivo ## Závislost na vzdálenosti * Budeme-li se od Země vzdalovat, bude gravitační zrychlení klesat s druhou mocninou vzdálenosti od středu Země
# Tíhové pole Země **Korekce gravitačního pole v reálném prostředí Země** ## Rotace * Musíme to ještě zpřesnit. Není to všude stejné. Nenaměřili bychom všude svoji stejnou hmotnost. * Míchá se do toho rotace Země. * Zatím máme, že gravitační zrychlení na povrchu Země je $a_G = 9,83$ m\, s$^{-2}$. ## Situace člověka, stojícího na váze, který se nachází na rovníku. ## + zploštění * Kromě rotace Země má na místní tíhové zrychlení vliv ještě nepravidelný tvar Země. * Planeta je mírně zploštělá, vzdálenost ke středu Země na rovníku je 6378 km zatímco na pólech jen 6357 km. ## Finále * Hodnoty tíhového zrychlení se pohybují mezi g= 9,78 m\, s$^{-2}$ na rovníku a g=9,83 m\, s$^{-2}$ na pólech. # Pohyb těles v gravitačním poli Země ## V blízkosti povrchu Země (podlunární mechanika) * Tělesa se nachází v homogenním gravitačním poli -> přímočarý (volný pád) a křivočarý pohyb (šikmý vrh). * Přímka nebo části paraboly. ## Pohyb těles ve větší vzdálenosti od povrchu Země, v centrálním gravitačním poli. * Pohyb družic # Zajímavosti # Zdroje * Přispěvatelé Wikipedie, „Keplerovy zákony,“ Wikipedie: Otevřená encyklopedie, Link (získáno 31. 10. 2024). * Wikipedia contributors, "Kepler's laws of planetary motion," Wikipedia, The Free Encyclopedia, Link (accessed October 31, 2024). * Tomáš Nečas: Fyzika pro gymnázia - Mechanika. 2008. * Wikipedia contributors, "Newton's law of universal gravitation," Wikipedia, The Free Encyclopedia, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Newton%27s_law_of_universal_gravitation&oldid=1254014824 (accessed October 31, 2024). *Chicago style*